Programme de la filière « Mathématiques pour l'environnement et le climat »

 

Les enseignements de cette filière ont lieu à l'Univ. Lyon 1 et à Écully (École Centrale)

 

PREMIER SEMESTRE

1- « Analyse appliquée : des lois de la physique à l’analyse fonctionnelle »     

UE obligatoire, commune aux quatre parcours ; 6 crédits. 

  • De la physique aux équations aux dérivées partielles. Deuxième loi de Newton. Bilan des forces (gradient de pression, viscosité, Coriolis, gravité). Loi de continuité. Les grandes équations : Navier-Stokes, Euler.
  • Espaces de Sobolev. Grands théorèmes : injections, inégalité de Poincaré, théorème de Rellich. Extensions, calcul fonctionnel.
  • Théorie variationnelle elliptique. Lemmes de Lions-Stampacchia et Lax-Milgram. Problèmes de Dirichlet et de Neumann. Théorie spectrale des problèmes aux limites. Méthode de Galerkin.
  • Problèmes paraboliques. Construction de solutions approchées, estimations sur les solutions approchées et compacité. Passage à la limite.
  • Problèmes hyperboliques scalaires. Notions de solutions faibles, non unicité. Solution entropique. Construction de solutions de viscosité.
  • Prise en compte des conditions aux limites pour les problèmes elliptiques et paraboliques.
  • Méthodes numériques : éléments finis, différences finies, volumes finis, méthodes spectrales. Comparaison entre les différentes approches. 

 

2- « Modélisation stochastique et statistique » 

UE obligatoire, commune aux quatre parcours ; 6 crédits. 

Cette UE est composée de deux parties : une partie "Processus stochastiques, modèles et méthodes numériques" (20h CM), et une partie "Modélisation statistique" (16h CM). La partie 1 est un complément des cours de théorie des probabilités de L3 et M1, orienté vers la modélisation des phénomènes aléatoires dépendant du temps. Son but est de présenter d'une part les outils théoriques de la modélisation par processus de Markov et d'autre part les algorithmes classiques de simulation de ces processus. La partie 2 a pour objectif de présenter quelques modèles fondamentaux en statistique : le modèle linéaire tout d'abord, puis le modèle linéaire généralisé permettant de gérer des situations plus variées, et enfin les principaux modèles permettant d'aborder les données temporelles. 

-- Partie 1 : "Processus stochastiques, modèles et méthodes numériques"

Généralité sur les processus, mouvement brownien. Martingales. Intégrale stochastique. Equations différentielles stochastiques, équation de Kolmogorov pour les processus de diffusion. Approximation et simulation de diffusion. Méthodes de Monte Carlo par Chaînes de Markov pour la simulation. Processus de Poisson, Chaînes de Markov à temps continu. Notion de générateur.

-- Partie 2 : " Modélisation statistique".

Rappels sur le modèle linéaire multiple, l'inférence dans ce modèle et les tests associés, ainsi que l'analyse des résidus et la sélection de modèles. Modèle linéaire généralisé : théorie et inférence. Cas particulier de la régression logistique. Modèles pour des données temporelles. Rappels de séries chronologiques. 

 

3- « Initiation au calcul scientifique intensif » 

UE obligatoire, commune aux quatre parcours ; 6 crédits. 

Ce cours a pour objectif de sensibiliser les futurs utilisateurs du calcul scientifique au développement de méthodologies de calcul sur les architectures contemporaines. Ces dernières ont un impact direct sur les performances en temps d‘exécution des algorithmes numériques. Cette problématique a conduit au développement et l’analyse de nouvelles méthodologies de calculs numériques, adaptées à ces architectures multicoeurs, pour la résolution d’EDP/EDO/EDA. L'accent sera mis à la fois sur l'aspect technologique et algorithmique, et sur leurs applications déterministes et stochastiques.

Programme du cours :
1) Introduction aux architectures de calcul :
Notions de base sur les architectures de calcul. Outils de programmation : langages, compilation, optimisation. Aspects théoriques du calcul réparti. Arithmétique flottante. Complexité, structures de données. Langage C++.
2) Algèbre linéaire :
Rappels sur les matrices, normes matricielles et le conditionnement. Calcul de valeurs propres et vecteurs propres : méthode de la puissance, puissance inverse Inversion de système linéaire : méthodes directes méthodes directes par factorisation (LU, QR), méthodes itératives classiques (Jacobi, de Gauss-Seidel et de relaxation), SOR, méthode de Krylov, GMRES. Préconditionnement. Résolution des grands systèmes linéaires creux, techniques de stockages creux. Résolution de systèmes non-linéaires : méthode de Newton.
3) Méthodes de décompositions de domaines - mémoire distribuée (MPI) :
Décomposition de domaine de type Schur primal, décomposition de domaine de type Schur Dual (FETI). Accélération de la convergence du problème interface (GCR, GMRES). Méthodes de Schwarz généralisées, Analyse de la convergence de ces méthodes (introduction de l’opérateur de correspondance Dirichlet-Neumann), Analyse de la propagation de l’erreur en espace, Accélération de la convergence de la méthode de Schwarz par Aitken. Préconditionneurs parallèles RAS de méthodes de Krylov. Décomposition de domaine en temps de problèmes non linéaires (EDO), conditions de transmission pour le couplage de modèles.
4) Algorithmes stochastiques - mémoire partagée (openMP / R-parallel) :
Algorithmes embarrassingly parallel (bootstrap, Monte-Carlo), ordonnancement des tâches et nombres pseudo- aléatoires en parallèle. Parallélisation d'un algorithme de type Monte Carlo Markov Chain (MCMC) et/ou d'un algorithme de classification de données (clustering hiérarchique CAH). Algèbre linéaire creux pour les chaînes de Markov. Utilisation de la mémoire et masse de données. 

 

4- « Géostatistique et autres applications du krigeage » 

UE associée à la filière  « Maths pour l'environnement et le climat » ; 6 crédits.

Ce cours a pour objectif d'introduire les principaux éléments de géostatistique, ainsi que les applications du modèle de krigeage à l'exploration des grands codes de calcul. Une dernière partie sera consacrée aux processus indexés par un réseau.

Programme du cours :

  •  Introduction à la modélisation probabiliste. Notion de processus dans R^d. Stationnarité, fonction de covariance. Accroissements stationnaires, Variogramme. Concept de support, variances d'estimation, de dispersion, formule d'additivité. Résultats asymptotiques (portée intégrale). Prédiction par krigeage. Krigeage simple (cas stationnaire), krigeage ordinaire et universel (cas à accroissements stationnaires).
  • Applications du modèle de krigeage à l'exploration des grands codes de calcul : plans d'expériences numériques ; optimisation, inversion, calcul de risque, analyse de sensibilité.
  • Modélisation de processus indexés par un réseau : Champs stationnaires sur Z^d. Champs de Markov sur réseau. Modèles graphiques. 

 

SECOND SEMESTRE

5 -  « Problèmes de transport en mécanique des fluides » 

UE associée à la filière  « Maths pour l'environnement et le climat » ; 6 crédits.

Le transport de certaines quantités (vitesse, température, densité etc.) joue un rôle fondamental dans de nombreux domaines visant à modéliser des lois physiques de conservation. Ce module a pour objectif de considérer quelques aspects du transport dans plusieurs domaines de la mécanique des fluides.

(1) Transport en milieu poreux : cette partie du cours traitera tout d'abord des différentes filtrations (linéaires et non linéaires) d'un fluide incompressible à travers un milieu poreux, du cas d'un gaz compressible et des écoulements non-saturés. La théorie mathématique des équations paraboliques non-linéaires dégénérées sera ensuite étudiée et appliquée aux écoulements multiphasiques. Les méthodes asymptotiques seront finalement introduites, et appliquées notamment à l'obtention de la loi de Darcy.

(2) Formation et stabilité des ondes non linéaires : certains phénomènes de transport sont parfaitement modélisés par des équations linéaires. C'est le cas du son, ou encore des vagues de faible amplitude en eau peu profonde. Les ondes non-linéaires comme les chocs et les solitons sont solutions d'équations plus compliquées (Euler, Saint-Venant, Boussinesq, etc.). L'objectif de cette partie du cours est de comprendre dans quelles circonstances elles se forment et dans quelle mesure elles sont stables.

(3) Méthodes semi-lagrangienne et Galerkin discontinue : on étudiera tout d'abord les avantages et les inconvénients des approches eulérienne et semi-lagrangienne dans le calcul des termes de transport. La conservation de la masse et la préservation de la monotonie seront considérées. Les méthodes de Galerkin discontinues seront ensuite abordées dans le cas du transport de discontinuités. On introduira les méthodes “Polynomial Viscosity Matrix (PVM)” très récentes qui généralisent les schémas classiques. 

 

6-  « Climatologie statistique » 

UE associée à la filière  « Maths pour l'environnement et le climat » ; 6 crédits.

Ce cours a pour objectif d'introduire les principales méthodes statistiques utilisées en sciences du climat et en météorologie. Les pratiques dans ces domaines s'appuient sur des techniques pointues, qui ne sont pas toujours bien maîtrisées du point de vue mathématique. Ce cours devrait permettre aux étudiants d'acquérir des connaissances avancées sur les modèles mathématiques sous-jacents. Il sera découpé en 3 parties : une première partie consacrée aux régimes de temps et au downscaling, une second partie consacrée aux aléas climatiques et aux outils statistiques pour la modélisation spatiale des risques, et une troisième partie présentant les méthodes de simulation dédiées.

Programme du cours :

Partie 1 :

  • Régimes de temps en climatologie et méthodes statistiques de classification permettant de les définir.
  • Downscaling statistique.

Partie 2 :

  • Modélisation des phénomènes ponctuels : aspects probabilistes et inférentiels.
  • Modélisation des phénomènes extrêmes : Lois de valeurs extrêmes. Processus max-stables. Modélisation pour les maxima et pour les dépassements de seuil.

Partie 3 :

  • Simulations - Implémentation à l'aide du logiciel R, utilisation des boîtes à outils consacrées à la statistique spatiale (gstat, geoR, spatial, spatstat, RandomFields) et à la statistique des extrêmes (evd, ismev, SpatialExtremes...) 

 

7- « Anglais scientifique » 

UE obligatoire, commune aux quatre parcours ; 3 crédits. 

Cette UE a pour objectif de faire acquérir aux étudiants des compétences en anglais scientifique, avec une focalisation plus particulière sur la rédaction de documents destinés à une publication dans des revues mathématiques. L'enseignement s'effectuera sous la forme de lectures commentées d'articles, de rédaction de rapports et de présentations orales, le tout en anglais. 

 

8- « Stage d'initiation à la recherche en ingénierie mathématique » 

UE obligatoire, commune aux quatre parcours ; 21 crédits. 

Le stage est encadré par un enseignant du master et un cadre de l'entreprise ou du laboratoire d'accueil. L'étudiant devra prendre en charge :

  • la recherche d'un stage dans une entreprise ou un laboratoire d'accueil pour une durée de 16 semaines minimum,
  • la rédaction d'un mémoire de synthèse structuré,
  • la soutenance orale de ce mémoire devant un jury composé au minimum des deux directeurs de stage.

Cette UE inclut aussi des cours de bureautique, préparation de CV, recherche de stage et d’emploi. Par ailleurs, elle inclut une initiation à la recherche par la participation à une série de séminaires de recherche.